Cách tính sai số tuyệt đối

     

Các phép đo được gọi là thẳng, nếu giá trị của các đại lượng được xác định trực tiếp bằng dụng cụ (ví dụ: đo độ dài bằng thước, xác định thời gian bằng đồng hồ bấm giờ, v.v.). Các phép đo được gọi là gián tiếp, nếu giá trị của đại lượng đo được xác định bằng các phép đo trực tiếp các đại lượng khác có liên quan đến mối quan hệ cụ thể được đo.

Bạn đang xem: Cách tính sai số tuyệt đối

Sai số ngẫu nhiên trong phép đo trực tiếp

Sai số tuyệt đối và tương đối. Hãy để nó được tổ chức N các phép đo cùng số lượng x trong trường hợp không có lỗi hệ thống. Các kết quả đo riêng lẻ trông giống như: x 1 ,x 2 ,…,x N. Giá trị trung bình của đại lượng đo được chọn là giá trị tốt nhất:

Lỗi tuyệt đối phép đo đơn được gọi là hiệu của dạng:

*
.

Sai số tuyệt đối trung bình N các phép đo đơn lẻ:

*
(2)

triệu tập sai số tuyệt đối trung bình.

Sai số tương đối là tỷ số giữa sai số tuyệt đối trung bình với giá trị trung bình của đại lượng đo:

*
. (3)

Sai số của thiết bị trong các phép đo trực tiếp

Nếu không có chỉ dẫn đặc biệt, sai số của dụng cụ bằng một nửa giá trị vạch chia của nó (thước, cốc).

Sai số của dụng cụ được trang bị một vernier bằng giá trị vạch chia của vernier (micromet - 0,01 mm, thước cặp - 0,1 mm).

Sai số của các giá trị dạng bảng bằng một nửa đơn vị của chữ số cuối cùng (năm đơn vị của thứ tự tiếp theo sau chữ số có nghĩa cuối cùng).

Sai số của dụng cụ đo điện được tính theo cấp chính xác Vớiđược chỉ ra trên thang đo của thiết bị:

Ví dụ:

*
*
,

ở đâu U tối đa và Tôi tối đa- giới hạn đo của thiết bị.

Sai số của thiết bị có chỉ thị kỹ thuật số bằng đơn vị của chữ số cuối cùng của chỉ báo.

Sau khi đánh giá sai số ngẫu nhiên và sai số công cụ, giá trị của nó lớn hơn sẽ được tính đến.

Tính toán sai số trong phép đo gián tiếp

Hầu hết các phép đo là gián tiếp. Trong trường hợp này, giá trị mong muốn X là một hàm của một số biến một,b,c…, các giá trị có thể được tìm thấy bằng các phép đo trực tiếp: Х = f ( một,b,c…).

Trung bình cộng của kết quả của các phép đo gián tiếp sẽ bằng:

X = f ( một, b, c…).

Một trong những cách tính sai số là cách phân biệt lôgarit tự nhiên của hàm X = f ( một,b,c...). Ví dụ, nếu giá trị mong muốn X được xác định bởi quan hệ X =

*
, thì sau khi lấy logarit chúng ta nhận được: lnX = ln một+ ln b+ ln ( c+d).

Sự khác biệt của biểu thức này là:

*
.

Đối với việc tính toán các giá trị gần đúng, nó có thể được viết cho sai số tương đối dưới dạng:

 =

*
. (4)

Sai số tuyệt đối trong trường hợp này được tính theo công thức:

Х = Х (5)

Do đó, việc tính toán sai số và tính kết quả cho các phép đo gián tiếp được thực hiện theo trình tự sau:

1) Tiến hành đo tất cả các đại lượng có trong công thức ban đầu để tính kết quả cuối cùng.

2) Tính giá trị trung bình cộng của từng giá trị đo được và sai số tuyệt đối của chúng.

3) Thay thế trong công thức ban đầu các giá trị trung bình của tất cả các giá trị đo được và tính giá trị trung bình của giá trị mong muốn:

X = f ( một, b, c…).

4) Lấy logarit của công thức ban đầu X = f ( một,b,c...) và viết biểu thức cho sai số tương đối dưới dạng công thức (4).

5) Tính sai số tương đối  =

*
.

6) Tính sai số tuyệt đối của kết quả bằng công thức (5).

7) Kết quả cuối cùng được viết là:

X \ u003d X cf X

Các sai số tuyệt đối và tương đối của các hàm đơn giản nhất được đưa ra trong bảng:

Tuyệt đối

lỗi

Liên quan đến

lỗi

a +b

*

a +b

*

Trong cuộc sống, chúng ta thường phải đối mặt với nhiều giá trị gần đúng khác nhau. Các phép tính gần đúng luôn là các phép tính có sai số.

Khái niệm về sai số tuyệt đối

Sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng là môđun của sự khác biệt giữa giá trị chính xác và giá trị gần đúng. Nghĩa là, từ giá trị chính xác, bạn cần trừ giá trị gần đúng và lấy mô đun số kết quả. Do đó, sai số tuyệt đối luôn luôn dương.

Cách tính toán sai số tuyệt đối

Chúng tôi sẽ cho thấy điều này có thể trông như thế nào trong thực tế. Ví dụ, chúng ta có một đồ thị của một giá trị nào đó, hãy cho nó là một parabol: y = x ^ 2.

Từ đồ thị, chúng ta có thể xác định giá trị gần đúng tại một số điểm. Ví dụ, tại x = 1,5, giá trị của y xấp xỉ 2,2 (y≈2,2).

Sử dụng công thức y = x ^ 2, chúng ta có thể tìm thấy giá trị chính xác tại điểm x = 1,5 y = 2,25.

Bây giờ chúng tôi tính toán sai số tuyệt đối của các phép đo của chúng tôi. | 2,25-2,2 | = | 0,05 | = 0,05.

Sai số tuyệt đối là 0,05. Trong những trường hợp như vậy, họ cũng nói rằng giá trị được tính với độ chính xác là 0,05.

Nó thường xảy ra rằng không phải lúc nào cũng có thể tìm được giá trị chính xác, và do đó, không phải lúc nào cũng có thể tìm được sai số tuyệt đối.

Ví dụ, nếu chúng ta tính khoảng cách giữa hai điểm bằng thước hoặc góc giữa hai đường thẳng bằng thước đo góc, thì chúng ta sẽ nhận được các giá trị gần đúng. Nhưng giá trị chính xác không thể được tính toán. Trong trường hợp này, chúng ta có thể chỉ định một số không được vượt quá giá trị của sai số tuyệt đối.

Trong ví dụ với thước kẻ, giá trị này sẽ là 0,1 cm, vì giá trị vạch chia trên thước là 1 milimét. Trong ví dụ về thước đo góc, 1 độ là vì thang đo góc được chia theo từng độ. Do đó, các giá trị của sai số tuyệt đối trong trường hợp đầu tiên là 0,1 và trong trường hợp thứ hai là 1.

Như đã đề cập trước đó, khi chúng ta so sánh độ chính xác của phép đo của một giá trị gần đúng nào đó, chúng ta sử dụng sai số tuyệt đối.

Khái niệm về sai số tuyệt đối

Sai số tuyệt đối của một giá trị gần đúng là môđun của sự khác biệt giữa giá trị chính xác và giá trị gần đúng. Sai số tuyệt đối có thể được sử dụng để so sánh độ chính xác của các phép gần đúng của cùng một đại lượng và nếu chúng ta định so sánh độ chính xác của các phép gần đúng của các đại lượng khác nhau, thì sai số tuyệt đối thôi là không đủ.

Ví dụ: Chiều dài của một tờ giấy A4 là (29,7 ± 0,1) cm Và khoảng cách từ Xanh Pê-téc-bua đến Mátxcơva là (650 ± 1) km. Sai số tuyệt đối trong trường hợp đầu tiên không vượt quá một milimét và trong trường hợp thứ hai - một kilômét. Câu hỏi đặt ra là so sánh độ chính xác của các phép đo này.

Nếu bạn nghĩ rằng chiều dài của tấm được đo chính xác hơn vì sai số tuyệt đối không vượt quá 1 mm. Vậy thì bạn đã nhầm. Những giá trị này không thể được so sánh trực tiếp. Hãy làm một số lý luận.

Khi đo chiều dài của tờ giấy, sai số tuyệt đối không vượt quá 0,1 cm x 29,7 cm, nghĩa là theo phần trăm, nó là 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% giá trị đo được.

Khi chúng tôi đo khoảng cách từ St.Petersburg đến Moscow, sai số tuyệt đối không vượt quá 1 km trên 650 km, là 1/650 * 100% = 0,15% giá trị đo dưới dạng phần trăm. Chúng ta thấy rằng khoảng cách giữa các thành phố được đo chính xác hơn chiều dài của một tờ A4.

Khái niệm về sai số tương đối

Ở đây, để đánh giá chất lượng của phép gần đúng, một khái niệm mới về sai số tương đối được đưa ra. Sai số tương đối là thương số của phép chia sai số tuyệt đối cho môđun của các giá trị gần đúng của đại lượng đo. Thông thường, sai số tương đối được biểu thị bằng phần trăm. Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi nhận được hai sai số tương đối bằng 0,33% và 0,15%.

Như bạn có thể đã đoán, giá trị lỗi tương đối luôn là số dương. Điều này xuất phát từ thực tế là sai số tuyệt đối luôn dương, và chúng tôi chia nó cho mô-đun, và mô-đun cũng luôn dương.

Do sai số vốn có trong dụng cụ đo, phương pháp và kỹ thuật đo đã chọn, sự khác biệt về điều kiện bên ngoài mà phép đo được thực hiện so với các điều kiện đã được thiết lập và các lý do khác, kết quả của hầu hết mọi phép đo đều có sai số. Sai số này được tính toán hoặc ước tính và được quy cho kết quả thu được.

Lỗi đo lường(ngắn gọn - sai số đo) - độ lệch của kết quả đo so với giá trị thực của đại lượng đo.

Giá trị thực của đại lượng do sự hiện diện của sai số vẫn chưa được biết. Nó được sử dụng để giải quyết các vấn đề lý thuyết của đo lường. Trong thực tế, giá trị thực tế của đại lượng được sử dụng, giá trị này thay thế giá trị thực.

Sai số đo (Δx) được tìm thấy theo công thức:

x = x đo. - x thực tế (1.3)

trong đó x đo lường. - giá trị của đại lượng thu được trên cơ sở các phép đo; x thực tế là giá trị của đại lượng được coi là thực.

Giá trị thực của các phép đo đơn lẻ thường được lấy làm giá trị thu được với sự trợ giúp của dụng cụ đo mẫu, đối với các phép đo lặp lại - giá trị trung bình cộng của các giá trị của các phép đo riêng lẻ có trong loạt bài này.

Sai số đo lường có thể được phân loại theo các tiêu chí sau:

Theo bản chất của biểu hiện - hệ thống và ngẫu nhiên;

Theo cách diễn đạt - tuyệt đối và tương đối;

Theo các điều kiện thay đổi giá trị đo - tĩnh và động;

Theo phương pháp xử lý một số phép đo - bình phương số học và căn bậc hai;

Theo mức độ đầy đủ của phạm vi bao phủ của nhiệm vụ đo lường - riêng tư và đầy đủ;

Trong mối quan hệ với đơn vị đại lượng vật lý - sai số tái tạo của đơn vị, lưu trữ của đơn vị và truyền tải kích thước của đơn vị.

Lỗi đo lường có hệ thống(ngắn gọn - sai số hệ thống) - một thành phần của sai số của kết quả đo, không đổi đối với một loạt phép đo nhất định hoặc thường xuyên thay đổi trong các phép đo lặp lại của cùng một đại lượng vật lý.

Theo bản chất của biểu hiện, sai số hệ thống được chia thành không đổi, lũy tiến và định kỳ. Lỗi hệ thống vĩnh viễn(ngắn gọn - sai số không đổi) - sai số giữ nguyên giá trị của chúng trong một thời gian dài (ví dụ, trong toàn bộ chuỗi phép đo). Đây là loại lỗi phổ biến nhất.

Các lỗi hệ thống liên tục(ngắn gọn - sai số lũy tiến) - sai số tăng hoặc giảm liên tục (ví dụ, sai số do mòn các đầu đo tiếp xúc trong quá trình mài với một bộ phận khi nó được điều khiển bởi thiết bị điều khiển hoạt động).

Lỗi hệ thống định kỳ(ngắn gọn - sai số tuần hoàn) - sai số, giá trị của nó là hàm thời gian hoặc hàm chuyển động của kim chỉ thiết bị đo (ví dụ, sự hiện diện của độ lệch tâm trong máy đo góc có thang đo tròn gây ra sai số hệ thống thay đổi theo quy luật tuần hoàn).

Căn cứ vào nguyên nhân làm xuất hiện sai số hệ thống, có sai số công cụ, sai số phương pháp, sai số chủ quan và sai số do sai lệch điều kiện đo bên ngoài so với phương pháp đã thiết lập.

Lỗi đo lường công cụ(ngắn gọn - lỗi thiết bị) là kết quả của một số nguyên nhân: mòn các bộ phận của thiết bị, ma sát quá mức trong cơ cấu thiết bị, các vệt không chính xác trên thang đo, chênh lệch giữa giá trị thực và danh nghĩa của thước đo, v.v.

Lỗi phương pháp đo(ngắn gọn - sai số của phương pháp) có thể phát sinh do sự không hoàn hảo của phương pháp đo hoặc sự đơn giản hóa của nó, được thiết lập bởi quy trình đo. Ví dụ, sai số này có thể do tốc độ không đủ của dụng cụ đo được sử dụng khi đo các thông số của quá trình nhanh hoặc không tính đến tạp chất khi xác định khối lượng riêng của một chất dựa trên kết quả đo khối lượng và thể tích của chất đó.

Chủ quan sai số đo(ngắn gọn - lỗi chủ quan) là do lỗi cá nhân của người vận hành. Đôi khi lỗi này được gọi là sự khác biệt cá nhân. Ví dụ, nó được gây ra bởi sự chậm trễ hoặc chậm trễ trong việc chấp nhận tín hiệu của người vận hành.

Lỗi lệch(theo một hướng) các điều kiện đo bên ngoài từ các điều kiện đo được thiết lập bởi quy trình đo dẫn đến sự xuất hiện của một thành phần hệ thống của sai số đo.

Sai số hệ thống làm sai lệch kết quả đo, vì vậy chúng phải được loại bỏ càng nhiều càng tốt bằng cách đưa ra các hiệu chỉnh hoặc điều chỉnh thiết bị để đưa sai số hệ thống xuống mức tối thiểu có thể chấp nhận được.

Lỗi hệ thống không được loại trừ(ngắn gọn - sai số không loại trừ) - đây là sai số của kết quả đo do sai số trong việc tính toán và đưa ra hiệu chỉnh đối với ảnh hưởng của sai số hệ thống hoặc một sai số hệ thống nhỏ, việc hiệu chỉnh không được đưa vào do sự nhỏ bé.

Loại lỗi này đôi khi được gọi là phần dư thiên vị không bị loại trừ(ngắn gọn - số dư không bị loại trừ). Ví dụ, khi đo chiều dài của một mét đường trong bước sóng của bức xạ tham chiếu, một số sai số hệ thống không loại trừ được bộc lộ (i): do đo nhiệt độ không chính xác - 1; do việc xác định không chính xác chiết suất của không khí - 2, do giá trị của bước sóng - 3 không chính xác.

Thông thường, tổng các sai số hệ thống không bị loại trừ được tính đến (ranh giới của chúng được thiết lập). Với số số hạng N ≤ 3, ranh giới của sai số hệ thống không bị loại trừ được tính bằng công thức

Khi số số hạng là N ≥ 4, công thức được sử dụng để tính toán

*
(1.5)

trong đó k là hệ số phụ thuộc của sai số hệ thống không loại trừ vào xác suất tin cậy P đã chọn với phân bố đồng đều của chúng. Tại P = 0,99, k = 1,4, tại P = 0,95, k = 1,1.

Lỗi đo lường ngẫu nhiên(ngắn gọn - sai số ngẫu nhiên) - một thành phần của sai số của kết quả đo, thay đổi ngẫu nhiên (về dấu và giá trị) trong một loạt các phép đo có cùng kích thước của một đại lượng vật lý. Nguyên nhân của sai số ngẫu nhiên: sai số làm tròn số khi đọc số đọc, sự thay đổi trong số đọc, sự thay đổi điều kiện đo có tính chất ngẫu nhiên, v.v.

Xem thêm: Cách Làm Bánh Tổ Ong Giòn Ngon Thơm Phức, Học Ngay Công Thức Làm Bánh Tổ Ong “Chuẩn Đét”

Sai số ngẫu nhiên gây ra sự phân tán kết quả đo trong một loạt.

Lý thuyết về lỗi dựa trên hai quy định, được thực tiễn xác nhận:

1. Với một số lượng lớn các phép đo, các sai số ngẫu nhiên của cùng một trị số, nhưng khác dấu, xảy ra thường xuyên như nhau;

2. Sai số lớn (tính theo giá trị tuyệt đối) ít phổ biến hơn sai số nhỏ.

Một kết luận quan trọng đối với thực hành là từ vị trí đầu tiên: với sự gia tăng số lượng phép đo, sai số ngẫu nhiên của kết quả thu được từ một loạt phép đo giảm xuống, vì tổng sai số của các phép đo riêng lẻ của chuỗi này có xu hướng bằng không, I E.

*
(1.6)

Ví dụ: theo kết quả của các phép đo, một loạt các giá trị điện trở \ u200b \ u200bare thu được (được hiệu chỉnh cho các ảnh hưởng của sai số hệ thống): R 1 \ u003d 15,5 Ohm, R 2 \ u003d 15,6 Ohm, R 3 \ u003d 15,4 Ohm, R 4 \ u003d 15, 6 ohms và R 5 = 15,4 ohm. Do đó R = 15,5 ôm. Sai lệch so với R (R 1 \ u003d 0,0; R 2 \ u003d +0,1 Ohm, R 3 \ u003d -0,1 Ohm, R 4 \ u003d +0,1 Ohm và R 5 \ u003d -0,1 Ohm) là sai số ngẫu nhiên của các phép đo riêng lẻ trong a loạt cho trước. Dễ thấy rằng tổng R i = 0,0. Điều này chỉ ra rằng sai số của các phép đo riêng lẻ của loạt bài này được tính toán chính xác.

Mặc dù thực tế là với sự gia tăng số lượng phép đo, tổng sai số ngẫu nhiên có xu hướng bằng không (trong ví dụ này, nó vô tình trở thành 0), sai số ngẫu nhiên của kết quả đo vẫn nhất thiết phải được ước tính. Trong lý thuyết về các biến ngẫu nhiên, độ phân tán của o2 đóng vai trò là đặc điểm của sự phân tán các giá trị của một biến ngẫu nhiên. "| / o2 \ u003d a được gọi là độ lệch chuẩn của tổng thể chung hoặc độ lệch chuẩn.

Nó thuận tiện hơn phân tán, vì thứ nguyên của nó trùng với thứ nguyên của đại lượng đo (ví dụ, giá trị của đại lượng nhận được bằng vôn, độ lệch chuẩn cũng sẽ tính bằng vôn). Vì trong thực hành các phép đo, người ta đề cập đến thuật ngữ “sai số”, nên thuật ngữ “sai số bình phương căn bậc hai” xuất phát từ nó nên được sử dụng để mô tả một số phép đo. Một số phép đo có thể được đặc trưng bởi sai số trung bình số học hoặc phạm vi kết quả đo.

Phạm vi kết quả đo (ngắn gọn - phạm vi) là hiệu đại số giữa kết quả lớn nhất và nhỏ nhất của các phép đo riêng lẻ tạo thành một chuỗi (hoặc mẫu) của n phép đo:

R n \ u003d X tối đa - X tối thiểu (1.7)

với R n là khoảng; X max và X min - giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đại lượng trong một loạt các phép đo nhất định.

Ví dụ, trong số năm phép đo đường kính lỗ d, các giá trị R 5 = 25,56 mm và R 1 = 25,51 mm trở thành giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của nó. Trong trường hợp này, R n \ u003d d 5 - d 1 \ u003d 25,56 mm - 25,51 mm \ u003d 0,05 mm. Điều này có nghĩa là các sai số còn lại của loạt bài này nhỏ hơn 0,05 mm.

Sai số số học trung bình của một phép đo đơn lẻ trong một chuỗi(ngắn gọn - sai số trung bình) - đặc tính tán xạ tổng quát (do nguyên nhân ngẫu nhiên) của các kết quả đo riêng lẻ (có cùng giá trị), bao gồm trong một chuỗi n phép đo độc lập chính xác như nhau, được tính bằng công thức

*
(1.8)

trong đó X i là kết quả của phép đo thứ i trong chuỗi; x là trung bình cộng của n giá trị của đại lượng: | X i - X | là giá trị tuyệt đối của sai số của phép đo thứ i; r là sai số trung bình cộng.

Giá trị thực của sai số trung bình cộng p được xác định từ tỷ số

p = lim r, (1,9)

Với số phép đo n> 30, giữa trung bình cộng (r) và bình phương trung bình (S) có những mối tương quan

s = 1,25r; r và = 0,80 s. (1.10)

Ưu điểm của sai số trung bình số học là tính đơn giản của nó. Nhưng vẫn thường xác định sai số bình phương trung bình hơn.

Lỗi bình phương gốc có nghĩa là phép đo riêng lẻ trong một chuỗi (ngắn gọn - sai số bình phương căn bậc hai) - một đặc tính tán xạ tổng quát (do nguyên nhân ngẫu nhiên) của các kết quả đo riêng lẻ (có cùng giá trị) được bao gồm trong một chuỗi P các phép đo độc lập chính xác như nhau, được tính bằng công thức

*
(1.11)

Sai số trung bình căn bậc hai đối với mẫu chung o, là giới hạn thống kê của S, có thể được tính cho / i-mx> bằng công thức:

Σ = lim S (1.12)

Trong thực tế, số lượng thứ nguyên luôn có giới hạn, vì vậy nó không phải là σ được tính , và giá trị (hoặc ước tính) gần đúng của nó, là s. Nhiều hơn P, s càng gần đến giới hạn của nó σ .

Với phân phối chuẩn, xác suất để sai số của một phép đo đơn lẻ trong một chuỗi sẽ không vượt quá sai số bình phương trung bình căn bậc hai được tính toán là nhỏ: 0,68. Do đó, trong 32 trường hợp trong số 100 hoặc 3 trong số 10 trường hợp, sai số thực tế có thể lớn hơn giá trị tính toán.

*

Hình 1.2 Giảm giá trị của sai số ngẫu nhiên của kết quả của nhiều phép đo với sự gia tăng số lượng phép đo trong một chuỗi

Trong một loạt các phép đo, có mối quan hệ giữa sai số rms của một phép đo duy nhất s và sai số rms của trung bình cộng S x:

mà thường được gọi là "quy tắc của Y n". Từ quy tắc này, sai số đo do tác động của các nguyên nhân ngẫu nhiên có thể giảm đi n lần nếu thực hiện n phép đo có cùng kích thước với bất kỳ đại lượng nào và giá trị trung bình số học được lấy làm kết quả cuối cùng (Hình 1.2 ).

Thực hiện ít nhất 5 phép đo trong một chuỗi có thể giảm ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên xuống hơn 2 lần. Với 10 phép đo, ảnh hưởng của sai số ngẫu nhiên được giảm đi hệ số 3. Việc tăng thêm số lượng phép đo không phải lúc nào cũng khả thi về mặt kinh tế và theo quy luật, chỉ được thực hiện đối với các phép đo quan trọng đòi hỏi độ chính xác cao.

Sai số trung bình căn bậc hai của một phép đo đơn từ một loạt các phép đo kép đồng nhất S α được tính bằng công thức

*
(1.14)

trong đó x "i và x" "i là kết quả thứ i của các phép đo có cùng kích thước theo chiều thuận và chiều nghịch của một dụng cụ đo.

Với các phép đo không bằng nhau, sai số trung bình căn bậc hai của trung bình cộng trong chuỗi được xác định bằng công thức

*
(1.15)

trong đó p i là trọng số của phép đo thứ i trong một loạt các phép đo không bằng nhau.

Sai số trung bình căn bậc hai của kết quả đo gián tiếp đại lượng Y, là một hàm của Y \ u003d F (X 1, X 2, X n), được tính bằng công thức

*
(1.16)

trong đó S 1, S 2, S n là sai số trung bình bậc hai của các kết quả đo đối với X 1, X 2, X n.

Nếu, để có độ tin cậy cao hơn trong việc thu được kết quả thỏa mãn, một số loạt phép đo được thực hiện, thì sai số trung bình-bình phương của một phép đo riêng lẻ từ m chuỗi (S m) được tìm thấy bằng công thức

*
(1.17)

Trong đó n là số phép đo trong chuỗi; N là tổng số phép đo trong tất cả các chuỗi; m là số dãy.

Với một số phép đo giới hạn, thông thường cần biết lỗi RMS. Để xác định sai số S, được tính theo công thức (2.7) và sai số S m, được tính theo công thức (2.12), bạn có thể sử dụng các biểu thức sau

*
(1.18)

*
(1.19)

trong đó S và S m tương ứng là sai số bình phương trung bình của S và S m.

Ví dụ, khi xử lý kết quả của một loạt các phép đo độ dài x, chúng ta thu được

*
= 86 mm 2 tại n = 10,

*
= 3,1 mm

*
= 0,7 mm hoặc S = ± 0,7 mm

Giá trị S = ± 0,7 mm có nghĩa là do sai số tính toán, s nằm trong khoảng từ 2,4 đến 3,8 mm, do đó, phần mười milimét là không đáng tin cậy ở đây. Trong trường hợp đã xét, cần ghi: S = ± 3 mm.

Để có độ tin cậy cao hơn trong ước lượng sai số của kết quả đo, sai số tin cậy hoặc các giới hạn tin cậy của sai số được tính toán. Với luật phân phối chuẩn, các giới hạn tin cậy của sai số được tính là ± t-s hoặc ± t-s x, trong đó s và s x lần lượt là sai số bình phương trung bình của một phép đo đơn lẻ trong một chuỗi và trung bình cộng; t là một số phụ thuộc vào độ tin cậy P và số lần đo n.

Một khái niệm quan trọng là độ tin cậy của kết quả đo (α), tức là xác suất mà giá trị mong muốn của đại lượng đo được nằm trong khoảng tin cậy nhất định.

Ví dụ, khi gia công các bộ phận trên máy công cụ ở chế độ công nghệ ổn định, sự phân bố sai số tuân theo quy luật thông thường. Giả sử rằng dung sai chiều dài bộ phận được đặt thành 2a. Trong trường hợp này, khoảng tin cậy trong đó giá trị mong muốn của độ dài phần a được đặt sẽ là (a - a, a + a).

Nếu 2a = ± 3s, thì độ tin cậy của kết quả là a = 0,68, tức là trong 32 trường hợp trong số 100 trường hợp, kích thước bộ phận phải vượt ra ngoài dung sai 2a. Khi đánh giá chất lượng của chi tiết theo dung sai 2a = ± 3s, độ tin cậy của kết quả sẽ là 0,997. Trong trường hợp này, chỉ có ba phần trong số 1000 có thể được mong đợi là vượt quá dung sai đã thiết lập. Tuy nhiên, chỉ có thể tăng độ tin cậy khi giảm sai số về chiều dài của phần đó. Vì vậy, để tăng độ tin cậy từ a = 0,68 lên a = 0,997, sai số về độ dài của bộ phận phải giảm đi một hệ số ba.

Gần đây, thuật ngữ "độ tin cậy đo lường" đã trở nên phổ biến. Trong một số trường hợp, nó được sử dụng không hợp lý thay cho thuật ngữ "độ chính xác của phép đo". Ví dụ: trong một số nguồn, bạn có thể tìm thấy biểu thức "thiết lập sự thống nhất và độ tin cậy của các phép đo trong nước." Trong khi sẽ đúng hơn nếu nói “thiết lập sự thống nhất và độ chính xác cần thiết của các phép đo”. Độ tin cậy được chúng tôi coi là một đặc tính định tính, phản ánh mức độ gần bằng 0 của các sai số ngẫu nhiên. Về mặt định lượng, nó có thể được xác định thông qua độ không đáng tin cậy của các phép đo.

Sự không chắc chắn của các phép đo(ngắn gọn - không đáng tin cậy) - đánh giá sự khác biệt giữa các kết quả trong một loạt phép đo do ảnh hưởng của tổng tác động của các sai số ngẫu nhiên (được xác định bằng các phương pháp thống kê và phi thống kê), được đặc trưng bởi phạm vi giá trị trong giá trị thực của đại lượng được đo nằm ở vị trí nào.

Theo khuyến nghị của Văn phòng Trọng lượng và Đo lường Quốc tế, độ không đảm bảo được biểu thị bằng tổng sai số đo rms - Su bao gồm cả sai số rms S (xác định bằng phương pháp thống kê) và sai số rms u (xác định bằng phương pháp phi thống kê) , I E.

*
(1.20)

Giới hạn sai số đo lường(ngắn gọn - sai số biên) - sai số đo lớn nhất (cộng, trừ), xác suất không vượt quá giá trị P, trong khi chênh lệch 1 - P là không đáng kể.

Ví dụ, với phân phối chuẩn, xác suất sai số ngẫu nhiên ± 3 giây là 0,997 và sự khác biệt 1-P = 0,003 là không đáng kể. Do đó, trong nhiều trường hợp, sai số tin cậy ± 3s được lấy làm giới hạn, tức là pr = ± 3s. Nếu cần, pr cũng có thể có các mối quan hệ khác với s để có P đủ lớn (2s, 2,5s, 4s, v.v.).

Liên quan đến thực tế là trong các tiêu chuẩn GSI, thay vì thuật ngữ "sai số bình phương căn bậc hai", thuật ngữ "độ lệch bình phương trung bình căn" được sử dụng, trong lý luận sâu hơn, chúng tôi sẽ gắn bó với thuật ngữ này.

Sai số đo lường tuyệt đối(ngắn gọn - sai số tuyệt đối) - sai số đo, được biểu thị bằng đơn vị của giá trị đo được. Vì vậy, sai số X khi đo chiều dài của phần X, được biểu thị bằng micromet, là một sai số tuyệt đối.

Không nên nhầm lẫn các thuật ngữ “sai số tuyệt đối” và “giá trị lỗi tuyệt đối”, được hiểu là giá trị của sai số mà không tính đến dấu hiệu. Vì vậy, nếu sai số đo tuyệt đối là ± 2 μV, thì giá trị tuyệt đối của sai số sẽ là 0,2 μV.

Sai số đo lường tương đối(ngắn gọn - sai số tương đối) - sai số đo, được biểu thị bằng một phần nhỏ của giá trị của giá trị được đo hoặc dưới dạng phần trăm. Sai số tương đối δ được tìm thấy từ các tỷ lệ:

*
(1.21)

Ví dụ, có một giá trị thực của chiều dài chi tiết x = 10,00 mm và giá trị tuyệt đối của sai số x = 0,01 mm. Sai số tương đối sẽ là

Lỗi tĩnh là sai số của kết quả đo do các điều kiện của phép đo tĩnh.

Lỗi động là sai số của kết quả đo do các điều kiện của phép đo động.

Lỗi sao chép đơn vị- sai số của kết quả các phép đo được thực hiện khi tái tạo một đơn vị đại lượng vật lý. Vì vậy, lỗi trong việc tái tạo một đơn vị bằng cách sử dụng tiêu chuẩn nhà nước được chỉ ra dưới dạng các thành phần của nó: một lỗi hệ thống không bị loại trừ, được đặc trưng bởi ranh giới của nó; sai số ngẫu nhiên được đặc trưng bởi độ lệch chuẩn s và độ không ổn định hàng năm ν.

Kích thước đơn vị truyền lỗi là sai số trong kết quả của các phép đo được thực hiện khi truyền kích thước của đơn vị. Sai số truyền kích thước đơn vị bao gồm sai số hệ thống không loại trừ và sai số ngẫu nhiên của phương pháp và phương tiện truyền kích thước đơn vị (ví dụ, bộ so sánh).

Trong thực tế, thông thường các số tính toán được thực hiện là các giá trị gần đúng của một số đại lượng nhất định. Nói một cách ngắn gọn, giá trị gần đúng của một đại lượng được gọi là số gần đúng. Giá trị thực của một đại lượng được gọi là số chính xác. Một con số gần đúng chỉ có giá trị thực tế khi chúng ta có thể xác định nó được cung cấp ở mức độ chính xác nào, tức là đánh giá lỗi của nó. Nhắc lại các khái niệm cơ bản từ khóa học chung của toán học.

Chứng tỏ: x- số chính xác (giá trị thực của số lượng), một- số gần đúng (giá trị gần đúng của một đại lượng).

Định nghĩa 1. Sai số (hoặc sai số thực) của một số gần đúng là hiệu số giữa số x và giá trị gần đúng của nó một. Sai số gần đúng một chúng tôi sẽ biểu thị. Cho nên,

Số lượng chính xác x hầu hết nó không được biết, do đó không thể tìm thấy sai số thực sự và tuyệt đối. Mặt khác, có thể cần phải ước tính sai số tuyệt đối, tức là chỉ ra một số mà sai số tuyệt đối không được vượt quá. Ví dụ, khi đo chiều dài của một đối tượng bằng công cụ này, chúng ta phải chắc chắn rằng sai số của giá trị số thu được sẽ không vượt quá một số nhất định, chẳng hạn 0,1 mm. Nói cách khác, chúng ta phải biết ràng buộc về sai số tuyệt đối. Giới hạn này sẽ được gọi là sai số tuyệt đối giới hạn.

Định nghĩa 3. Sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng mộtđược gọi là một số dương sao cho, tức là

Có nghĩa, X bởi sự thiếu hụt, bởi sự dư thừa. Mục nhập sau cũng được sử dụng:

. (2.5)

Rõ ràng là sai số tuyệt đối giới hạn được xác định một cách mơ hồ: nếu một số nhất định là sai số tuyệt đối giới hạn, thì bất kỳ số nào lớn hơn cũng là sai số tuyệt đối giới hạn. Trong thực tế, các em cố gắng chọn một số nhỏ nhất có thể và đơn giản (có 1-2 chữ số có nghĩa) thỏa mãn bất đẳng thức (2.3).

Ví dụ.Xác định sai số tuyệt đối đúng, tuyệt đối và giới hạn của số a \ u003d 0,17, được coi là giá trị gần đúng của số.

Đúng là lỗi:

*

Sai số tuyệt đối:

*

Đối với sai số tuyệt đối giới hạn, bạn có thể lấy một số và bất kỳ số nào lớn hơn. Trong ký hiệu thập phân, chúng tôi sẽ có: Thay thế số này bằng một bản ghi lớn và có thể đơn giản hơn, chúng tôi sẽ chấp nhận:

Nhận xét. Nếu một một là giá trị gần đúng của số X và sai số tuyệt đối giới hạn bằng h, sau đó họ nói rằng một là giá trị gần đúng của số X lên đến h.

Biết sai số tuyệt đối không đủ để xác định chất lượng của phép đo hoặc tính toán. Ví dụ, kết quả như vậy thu được khi đo chiều dài. Khoảng cách giữa hai thành phố S1= 500 1 km và khoảng cách giữa hai tòa nhà trong thành phố S2= 10 1 km. Mặc dù sai số tuyệt đối của cả hai kết quả là như nhau, tuy nhiên, điều quan trọng là trong trường hợp đầu tiên, sai số tuyệt đối 1 km rơi vào 500 km, trong trường hợp thứ hai - trên 10 km. Chất lượng đo lường trong trường hợp đầu tiên tốt hơn trong trường hợp thứ hai. Chất lượng của một phép đo hoặc kết quả tính toán được đặc trưng bởi một sai số tương đối.

Định nghĩa 4. Sai số tương đối của giá trị gần đúng một con số X là tỷ lệ của sai số tuyệt đối của số mộtđến giá trị tuyệt đối của số X:

Định nghĩa 5. Sai số tương đối giới hạn của số gần đúng mộtđược gọi là một số dương sao cho.

Vì nó theo công thức (2.7) nên nó có thể được tính từ công thức

. (2.8)

Nói một cách ngắn gọn, trong trường hợp điều này không gây ra hiểu lầm, thay vì "hạn chế sai số tương đối", họ chỉ nói "sai số tương đối".

Sai số tương đối giới hạn thường được biểu thị dưới dạng phần trăm.

ví dụ 1. . Giả sử, chúng ta có thể chấp nhận =. Bằng cách chia và làm tròn (nhất thiết phải trở lên), chúng ta nhận được = 0,0008 = 0,08%.

Ví dụ 2Khi cân khối lượng ta thu được kết quả: p = 23,4 0,2 g, ta có = 0,2. . Bằng cách chia và làm tròn, chúng ta nhận được = 0,9%.

Công thức (2.8) xác định mối quan hệ giữa sai số tuyệt đối và tương đối. Từ công thức (2.8) nó như sau:

. (2.9)

Sử dụng công thức (2.8) và (2.9), chúng ta có thể, nếu biết số một, theo sai số tuyệt đối đã cho, tìm sai số tương đối và ngược lại.

Lưu ý rằng công thức (2.8) và (2.9) thường phải được áp dụng ngay cả khi chúng ta chưa biết số gần đúng một với độ chính xác cần thiết, nhưng chúng tôi biết giá trị gần đúng một. Ví dụ, yêu cầu đo chiều dài của một đối tượng với sai số tương đối không quá 0,1%. Câu hỏi đặt ra là: có thể đo chiều dài với độ chính xác cần thiết bằng thước cặp cho phép bạn đo chiều dài với sai số tuyệt đối lên đến 0,1 mm không? Mặc dù chúng ta chưa đo một vật thể bằng một dụng cụ chính xác, nhưng chúng ta biết rằng giá trị gần đúng sơ bộ của chiều dài là khoảng 12 cm. Theo công thức (1.9), chúng tôi tìm thấy sai số tuyệt đối:

Từ đó có thể thấy rằng với sự trợ giúp của thước cặp thì có thể thực hiện phép đo với độ chính xác cần thiết.

Trong quá trình làm việc tính toán, thường phải chuyển từ sai số tuyệt đối sang sai số tương đối và ngược lại, điều này được thực hiện bằng công thức (1.8) và (1.9).


Chuyên mục: Tổng hợp