Cách tính tích phân kép

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một số ví dụ:

1. Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của:

*

Giải:

Ta có miền D giới hạn bởi các đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
*
là A(2;-2) và C (8;4) và miền D được xác định như hình bên.

Bạn đang xem: Cách tính tích phân kép

Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào là

*
và cùng 1 đưởng ra là x = y + 4.

Xem thêm: Cách Tắt Firewall Trong Windows 7, 8/8, Cách Bật/ Tắt Firewall

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là y = x – 4 và

*
và có chung 1 đường ra là
*
. Do đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có chung 1 đường vào và 1 đường ra.

Do đó, theo phương Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán tương tự như trên, ta có kết quả.

Nhận xét:

1. Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)

(Các kết quả trên coi như bài tập, các em tự chứng minh)

4. Giả sử

*
*
thì:

*

(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn. Các em tự chứng minh)


Chuyên mục: Tổng hợp