Cách tính tích phân kép

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

4. Một số ví dụ:

1. Xác định cận mang tích phân theo 2 phương Ox cùng Oy của:

*

Giải:

Ta gồm miền D số lượng giới hạn bởi các đường:

*
Tọa độ giao điểm của 2 đướng
*
với
*
là A(2;-2) cùng C (8;4) và miền D được khẳng định như hình bên.

Bạn đang xem: Cách tính tích phân kép

Nhận thấy, theo pmùi hương Ox thì miền D bao gồm cùng 1 đường vào là

*
cùng cùng 1 đưởng ra là x = y + 4.

Xem thêm: Cách Tắt Firewall Trong Windows 7, 8/8, Cách Bật/ Tắt Firewall

Do đó:

*

Vậy

*

=

*

=

*

Còn theo phương thơm Oy thì miền D lại sở hữu 2 đường vào là y = x – 4 và

*
với có thông thường 1 mặt đường ra là
*
. Do đó, ta phân chia miền D thành 2 miền D1, D2 vì chưng đoạn AB để lên trên từng miền bao gồm chung 1 mặt đường vào và 1 đường ra.

Do kia, theo phương thơm Oy ta có:

*

*

Vậy ta có:

*

Tính toán thù giống như nhỏng bên trên, ta tất cả tác dụng.

Nhận xét:

1. Từ tích phân bên trên miền D1, ta nhận ra cận của tích phân theo biến y gồm tính đối xứng, hay nhờ vào ồ thị ta bao gồm miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bởi 0; còn ví như f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng gấp đôi tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).

Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:

*

(cùng với D1 là phần của D ứng với y > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox cùng f(x;y) = -f(x;-y) thì:

*

2. Tương từ bỏ, giả dụ miền D đối xứng qua Oy với f(x;y) = f(-x;y) thì:

*

(cùng với D’ là phần của D ứng với x > 0)

Nếu miền D đối xứng qua Ox với f(x;y) = -f(-x;y) thì:

*

3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox cùng Oy cùng f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:

*

(với D* là phần của D phía trong góc phần tứ đồ vật nhất)

(Các hiệu quả trên coi nlỗi bài bác tập, những em từ bỏ chứng minh)

4. Giả sử

*
*
thì:

*

(tức là tích phân kxay đã các thành tích của 2 tích phân solo. Các em từ triệu chứng minh)


Chuyên mục: Tổng hợp